(1)先对f(x)求导,再令f′(x)=0,求出极值点,进而可得出单调区间和极值;
(2)令h(x)=f(x)-1,再求导,利用单调性即可比较出f(x)与1的大小;
(3)利用(2)的结论,即可证出.
【解析】
(1)当时,,定义域是(0,+∞).
∴=.
令f′(x)=0,解得或x=2.
∵当时,或x>2时,f′(x)>0;当时,f′(x)<0.
∴函数f(x)在或(2,+∞)上单调递增;在上单调递减.
∴函数f(x)的极大值是,极小值是.
(2)当a=2时,f(x)=lnx+,定义域为(0,+∞).
令h(x)=f(x)-1=,定义域为(0,+∞).
∵h′(x)==>0,
∴h(x)在(0,+∞)是增函数.
①当x>1时,h(x)>h(x)=0,∴f(x)>1.
②当0<x<1时,h(x)<h(1)=0,∴f(x)<1.
③当x=1时,h(1)=0,∴f(x)=1.
(3)根据(2)的结论,
当x>1时,,即.
令,代入得.
∴,
依次取n=1,2,…,n.再相加即可得出:
.