Question

（Ⅰ）若A={x|mx²+mx+1＞0}=R，求实数m的取值范围；
（Ⅱ）二次函数f（x）=ax²+bx，满足1≤f（1）≤2，3≤f（-1）≤4，求f（2）的取值范围．

Answer

（I）根据A=R，可得不等式m•x2+mx+1＞0恒成立，分m=0和两种情况讨论满足条件的实数m，综合讨论结果可得实数m的取值范围；
（Ⅱ）根据二次函数f（x）=a•x2+bx，满足1≤f（1）≤2，3≤f（-1）≤4，我们将f（2）=4a+2b分解为3（a+b）+（a-b），进而利用不等式的基本性质可得f（2）的取值范围．
【解析】
（Ⅰ）当m=0时，1＞0
∴m=0满足条件…2
当m≠0时，则…4
得0＜m＜4…5
综上0≤m＜4…6
（Ⅱ）∵f（x）=ax2+bx，
且1≤f（1）≤2，3≤f（-1）≤4，
∴
又由f（2）=4a+2b…3
f（2）=3（a+b）+（a-b）=3f（1）+f（-1）…6
∴6≤f（2）≤10…7