Question

已知圆C：x²+y²-2x+4y-4=0；
（1）若直线l过P（-2，2）且与圆C相切，求直线l的方程．
（2）是否存在斜率为1直线l′，使直线l′被圆C截得弦AB，以AB为直径的圆经过原点O．若存在，求出直线l′的方程；若不存在，说明理由．

Answer

（1）假设切线方程，利用直线与圆相切，由圆心到直线的距离等于半径解出k值，从而得到直线l的方程；
（2）假设所求直线存在，将条件以AB为直径的圆经过原点O，转化为OA⊥OB．通过联立方程可求．
【解析】
（1）圆C可化为：（x-1）2+（y+2）2=9⇒圆心：C（1，-2）；半径：r=3
①当l斜率不存在时：l：x=-2，满足题意（2分）
②当l斜率存在时，设斜率为k，则：l：y-2=k（x+2）⇒kx-y+2k+2=0
则：
故：l：7x+24y-34=0（3分）
综上之：直线l的方程：x=-2或7x+24y-34=0（1分）
（2）设直线l的方程为y=x+b，代入圆的方程x2+（x+b）2-2x+4（x+b）-4=0．即2x2+（2b+2）x+b2+4b-4=0．（*）以AB为直径的圆过原点O，则OA⊥OB．
设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1x2+y1y2=0，即x1x2+（x1+b）（x2+b）=0．
∴2x1x2+b（x1+x2）+b2=0．
由（*）式得x1+x2=-b-1，x1x2=
∴b2+4b-4+b•（-b-1）+b2=0．
即b2+3b-4=0，∴b=-4或b=1．
将b=-4或b=1代入*方程，对应的△＞0．
故存在直线l：x-y-4=0或x-y+1=0．