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如图,在四棱锥P-ABCD中,四边形ABCD是正方形,PA⊥平面ABCD,E是P...

manfen5.com 满分网如图,在四棱锥P-ABCD中,四边形ABCD是正方形,PA⊥平面ABCD,E是PA上的一点,F是BC的中点.
(Ⅰ)求证:EC⊥BD;
(Ⅱ)若PE=EA,求证:EF∥平面PCD.
(1)连接AC,转化为证明直线BD⊥平面PAC; (2)取PD中点M,连接EM,CM,根据线面平行的判定定理,只需证明EF∥CM. 证明:(1)连接AC,∵四边形ABCD是正方形,∴AC⊥BD, ∵PA⊥平面ABCD,AC⊂平面ABCD,∴PA⊥BD, 又AC∩PA=A,∴BD⊥平面PAC, ∵EC⊂平面PAC, ∴EC⊥BD. (2)取PD中点M,连接EM,CM,则ME∥AD,ME=AD, ∵ABCD是正方形,∴AD∥BC,AD=BC, ∵F为BC的中点,∴CF∥AD,CF=AD, ∴ME∥CF,ME=CF,∴四边形EFCM是平行四边形, ∴EF∥CM,又∵EF⊄平面PCD,CM⊂平面PCD, ∴EF∥平面PCD.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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