(1)由函数f(x)=x2+ax+b,且f(x)的图象关于直线x=1对称,知-=1,由此能求出a.
(2)由(1)知 f ( x )=x2-2x+b,再用定义法证明函数f(x)在区间[1,+∞)上是增函数.
(本小题满分12分)
【解析】
(1)∵函数f(x)=x2+ax+b,且f(x)的图象关于直线x=1对称,
∴-=1,解得a=-2.…(3分)
(2)根据(1)可知 f ( x )=x2-2x+b,
下面证明函数f(x)在区间[1,+∞)上是增函数.
设x1>x2≥1,则f(x1)-f(x2)…(5分)
=()-()
=()-2(x1-x2)
=(x1-x2)(x1+x2-2)…(8分)
∵x1>x2≥1,则x1-x2>0,且x1+x2-2>2-2=0,
∴f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),…(11分)
故函数f(x)在区间[1,+∞)上是增函数.…(12分)