由已知中定义在R上的函数f(x)的图象关于点对称,且满足,f(-1)=1,f(0)=-2,我们可得f(x)是一个以3为周期的周期函数,且f(3k)=-2,f(3k+1)=1,f(3k+2)=1,k∈Z,然后利用分组分解法,我们可以将f(1)+f(2)+…+f(2006)转化为f(1)+f(2),进而得到答案.
【解析】
∵函数f(x)满足,
∴f(x+3)===f(x)
即f(x)是一个以3为周期的周期函数
又∵函数f(x)的图象关于点对称,
∴f(x)=-f(-x),又函数f(x)满足,
∴f(-x)=
即f(x)=f(-x)
故函数f(x)为定义在R上的偶函数
又∵f(-1)=1,f(0)=-2,
∴f(1)=f(-1)=f(2)=1
∴f(3k)=-2,f(3k+1)=1,f(3k+2)=1,k∈Z
∴f(1)+f(2)+…+f(2006)=f(1)+f(2)=1+1=2
故答案为2