Question

已知函数，且a≠1）的定义域为M．
（Ⅰ）求定义域M，并写出f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）当x∈M时，求函数g（x）=2^x+3-4^x的值域．

Answer

（I）由函数，且a≠1），知-x2+4x-3＞0，由此能求出函数的定义域和f（x）的单调递增区间．
（II）由g（x）=2x+3-4x=8×2x-（2x）2，令t=2x，则2＜t＜8，由此能求出函数g（x）=2x+3-4x的值域．
【解析】
（ I）∵函数，且a≠1），
∴-x2+4x-3＞0，解得1＜x＜3，
∴定义域M={x|1＜x＜3}．（4分）
①当0＜a＜1时，f（x）的单调递增区间为：（2，3），（6分）
②当a＞1时，f（x）的单调递增区间为：（1，2）．（8分）；
（ II）∵g（x）=2x+3-4x=8×2x-（2x）2，
令t=2x，则2＜t＜8，
∴g（x）=-t2+8t，
由二次函数性质可知：
当2＜t＜8时，g（x）的值域是（0，16]．（13分）