Question

设α、β为函数g（x）=2x²-mx-2的两个零点，m∈R且α＜β，函数•
（ I）求f（a）•g（x）的值；
（Ⅱ） 证明：函数f（x）在[α，β]上为增函数；
（III） 是否存在实数m，使得函数f（x）在[α，β]上的最大值与最小值之差达到最小．若存在，则求出实数m的值；否则，请说明理由．

Answer

（ I）由题意并根据一元二次方程根与系数的关系可得，运算可得f（α）•f（β）= 的值．
（Ⅱ）∀x1，x2∈[α，β]，x1＜x2 ，依据条件判断f（x1）-f（x2）＜0，从而得到函数f（x）在[α，β]上为增函数．
（III）函数f（x）在[α，β]上的最大值与最小值之差为 ，当且仅当 f（β）= 时，等号成立，此时，f（β）=2，即2β2-mβ-2=0，可得m=0．
【解析】
（ I）由题意可得，故 f（α）•f（β）==．（4分）
（Ⅱ）∀x1，x2∈[α，β]，x1＜x2 ，可得．
∵（x1-α）（x2-β）≤0，（x1-β）（x2-α）＜0，两式相加可得 2x1x2-（α+β）（x1+x2）+2αβ＜0．
∵，∴（x2-x1）[4x1x2-4-m（x2+x1）]＜0，
∴f（x1）-f（x2）＜0，∴函数f（x）在[α，β]上为增函数．（4分）
（III）函数f（x）在[α，β]上的最大值与最小值之差为 ，
当且仅当 f（β）= 时，等号成立，此时，f（β）=2，即 =2，2β2-mβ-2=0．
结合可得m=0．
综上可得，存在实数m=0，满足条件．（5分）