Question

如图，在四棱锥S-ABCD中，SA=AB=2，SB=SD=2，底面ABCD是菱形，且∠ABC=60°，E为CD的点．
（1）求四棱锥S-ABCD的体积；
（2）侧棱SB上是否存在点F，使得CF∥平面SAE？并证明你的结论．

Answer

（1）先确定四棱锥S-ABCD的高SA，然后求出底面面积和SA，即可求出体积；
（2）F为侧棱SB的中点时，CF∥平面SAE，
证法一：设N为SA的中点，连NF，NE，FC，只需证明CF∥NE，NE⊂平面SAE，CF⊄平面SAE，即可．
证法二：设M为AB的中点，连MF，MC，FC，只须证平面FMC∥平面SAE，CF⊂平面FMC，即可．
【解析】
（1）∵SA=AB=ADF=2，SB=SD=2，
则有SB2=SA2+AB2，SD2=SA2+AD2，
∴SA⊥AB，SA⊥AD，
又AD∩AB=A，AD，AB⊂底面ABCD
∴SA⊥底面ABCD，（2分）
VS-ABCD=•S四边形ABCD×SA=•×2×2×sin60°×2=（4分）
证明：（2）F为侧棱SB的中点时，CF∥平面SAE．（10分）
证法一：设N为SA的中点，连NF，NE，FC，则NF是△SAB的中位线，
∴NF∥AB且NF=AB，又CE∥AB且CE=AB，
∴CE∥NF且CE=NF，∴四边形CENF为平行四边形，
∴CF∥NE，∵NE⊂平面SAE，CF⊄平面SAE，
∴CF∥平面SAE．（12分）
证法二：设M为AB的中点，连MF，MC，FC，则MF是△SAB的中位线，
∴MF∥SA，∵SA⊂平面SAE，MF⊄平面SAE，
∴MF∥平面SAE．
同理，由CM∥AE，得CM∥平面SAE．
又MF∩MC=M，
∴平面FMC∥平面SAE，
又∵CF⊂平面FMC，
∴CF∥平面SAE．（12分）