Question

已知二次函数f（x）=x²-ax+c，（其中c＞0）．
（1）若函数f（x）为偶函数，求a的值；
（2）当f（x）为偶函数时，若函数，指出g（x）在（0，+∞）上单调性情况，并证明之．

Answer

（1）若函数f（x）为偶函数，根据偶函数定义可得f（-x）=f（x），结合多项式相等的条件，求出a的值；
（2）结合（1）中结论，可得g（x）为对勾函数，利用作差法，可证明其单调性．
【解析】
（1）f（x）为偶函数，
∴f（-x）=f（x），…（2分）
即（-x）2+ax+c=x2-ax+c，
即2ax=0恒成立                         …（3分）
∴a=0                                                                           …（4分）
（2）由（1），若f（x）为偶函数，则a=0，
∴==x+，x∈（0，+∞）
当x∈（0，+∞）时，g（x）在x∈（0，）上单调递减，在x∈（，+∞）上单调递增，证明如下：…（5分）
设任意x1，x2∈（0，），且x1＜x2，
g（x1）-g（x2）=（x1+）-（x2+）=（x1-x2）+（-）=（x1-x2）         …（7分）
∵x1，x2∈（0，），且x1＜x2，
∴x1-x2＜0，x1•x2＜c
即x1•x2-c＜0
∴（x1-x2）＞0，
即g（x1）-g（x2）＞0
即g（x1）＞g（x2）
∴g（x）在（0，）上单调递减                                                       …（9分）
同理，可得g（x）在（，+∞）上单调递增                                             …（10分）