Question

已知函数f（x）=-a^2x-2a^x+1（a＞1）
（1）求函数f（x）的值域；
（2）若x∈[-2，1]时，函数f（x）的最小值为-7，求a的值．

Answer

（1）利用换元法，将函数转化为二次函数，利用函数的单调性，我们可以求出函数f（x）的值域；
（2）利用换元法，将函数转化为二次函数，取得函数的单调性，得到x=a时，函数f（x）取得最小值．利用条件，就可以求a的值．
【解析】
（1）令t=ax＞0，∴f（x）=g（t）=-t2-2t+1=-（t+1）2+2
∵t＞0，∴函数在（0，+∞）上单调减
∴g（t）＜1
∴函数f（x）的值域为（-∞，1）
（2）∵a＞1，∴x∈[-2，1]时，t=ax∈[a-2，a]，
∵f（x）=g（t）=-t2-2t+1=-（t+1）2+2
∴函数f（x）在[a-2，a]上单调减
∴x=a时，函数f（x）取得最小值
∵x∈[-2，1]时，函数f（x）的最小值为-7，
∴-（a+1）2+2=-7
∴（a+1）2=9
∴a=2或-4（舍去）
所以a=2．