Question

如图，在直角坐标系xOy中，点P（1，）到抛物线C：y²=2px（p＞0）的准线的距离为．点M（t，1）是C上的定点，A，B是C上的两动点，且线段AB被直线OM平分于点Q（φ（m），ϕ（m））（即点Q的坐标是实数m的表达式）．
（1）求p，t的值；
（2）用m表示△ABP 的面积S；
（3）求△ABP面积S的最大值．

Answer

（1）由题意知，由此能求出结果．
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），由OM过AB的中点，而且直线OM的方程为x-y=0，知线段AB的中点Q（m，m），设直线AB的斜率为k（k≠0），由，得（y1-y2）（y1+y2）=x1-x2，故k•2m=1，直线AB的方程为y-m=（x-m），由此能用m表示△ABP 的面积S．
（3）令u=，0＜u，S=u（1-2u2），设S（u）=u（1-2u2），0＜u，则S′（u）=1-6u2，由此能求出△ABP面积的最大值．
【解析】
（1）∵在直角坐标系xOy中，
点P（1，）到抛物线C：y2=2px（p＞0）的准线的距离为，
点M（t，1）是C上的定点，
∴，
解得．
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），
∵OM过AB的中点，而且直线OM的方程为x-y=0，
∴线段AB的中点Q（m，m），
由题意，设直线AB的斜率为k（k≠0），
由，得（y1-y2）（y1+y2）=x1-x2，故k•2m=1，
∴直线AB的方程为y-m=（x-m），
即x-2my+2m2-m=0，
由，消去x，得y2-2my+2m2-m=0，
∴y1+y2=2m，y1y2=2m2-m，
由△=4m-4m2＞0，得0＜m＜1，
从而|AB|=•|y1-y2|=•，
设点P到直线AB的距离为d，
则d=，
设△ABP的面积为S，
则S==|1-2（m-m2）|•，（0＜m＜1）．

（3）令u=，0＜u，
则S=u（1-2u2），
设S（u）=u（1-2u2），0＜u，
则S′（u）=1-6u2，
由S′（u）=0，得u=∈（0，），
∴S（u）max=S（）=．
故△ABP面积的最大值为．