Question

x²+y²+2ax+a⁴-4和x²+y²-4by-1+4b²=0恰有三条公切线，若a∈R，b∈R，且ab≠0，则的最小值为    ．

Answer

先将圆的方程配方得出圆心坐标与半径，根据x2+y2+2ax+a4-4=0和x2+y2-4by-1+4b2=0恰有三条公切线，得出两圆外切，圆心距等于两半径之和，得出a，b的关系式；a2+4b2=25，再利用基本不等式即可求得的最小值．
【解析】
∵x2+y2+2ax+a2-4=0和x2+y2-4by-1+4b2=0恰有三条公切线，
∴两圆外切，
∴圆心距等于两半径之和，即得：a2+4b2=9，
∴
=（5++）≥（5+4）=1
当且仅当a=2b时取等号，
则的最小值为1
故答案为：1