Question

如果一个函数f（x）在其定义区间内对任意实数x，y都满足，则称这个函数是下凸函数，下列函数
（1）f（x）=2^x；
（2）f（x）=x³；
（3）f（x）=log₂x（x＞0）；
（4）
中是下凸函数的有（ ）
A．（1），（2）
B．（2），（3）
C．（3），（4）
D．（1），（4）

Answer

根据函数f（x）在其定义区间内对任意实数x，y都满足，可得f″（x）≥0，再对四个函数分别求导，即可得到结论．
【解析】
∵函数f（x）在其定义区间内对任意实数x，y都满足，
∴f″（x）≥0
（1）f（x）=2x，则f′（x）=2x•ln2，∴f″（x）=2x•ln22＞0，∴函数是下凸函数；
（2）f（x）=x3，则f′（x）=3x2，∴f″（x）=6x，∴函数不是下凸函数；
（3）f（x）=log2x，则f′（x）=，∴f″（x）=-＜0，∴函数不是下凸函数；
（4）x＜0时，f′（x）=1，∴f″（x）=0；x≥0时，f′（x）=2，∴f″（x）=0，∴函数是下凸函数
故选D．