以A1为原点,A1B,A1C,A1A分别为x轴,y轴,z轴正方向,建立坐标系,则我们易求出各个点的坐标,进而求出各线的方向向量及各面的法向量.
(I)要证明PB1∥平面BDA1,我们可以先求出直线PB1的向量,及平面BDA1的法向量,然后判断证明这两个向量互相垂直
(II)由图象可得二面角A-A1D-B是一个锐二面角,我们求出平面AA1D与平面A1DB的法向量,然后求出两个法向量夹角的余弦值,得到结论.
【解析】
以A1为原点,A1B,A1C,A1A分别为x轴,y轴,z轴正方向,建立坐标系,
则A1(0,0,0),B1(1,0,0),C1(0,1,0),B(1,0,1),P(0,2,0)
(1)在△PAA1中,C1D=AA1,则D(0,1,)
∴=(1,0,1),=(0,1,),=(-1,2,0)
设平面BDA1的一个法向量为=(a,b,c)
则
令c=-1,则=(1,,-1)
∵•=1×(-1)+×2+(-1)×0=0
∴PB1∥平面BDA1
(II)由(I)知平面BDA1的一个法向量=(1,,-1)
又=(1,0,0)为平面AA1D的一个法向量
∴cos<,>===
故二面角A-A1D-B的平面角的余弦值为