(1)利用线面垂直的判定定理,即证明SD垂直于面SAB中两条相交的直线SA,SB;在证明SD与SA,SB的过程中运用勾股定理即可
(Ⅱ)求AB与平面SBC所成的角的大小即利用平面SBC的法向量,当为锐角时,所求的角即为它的余角;当为钝角时,所求的角为
(Ⅰ)证明:在直角梯形ABCD中,
∵AB∥CD,BC⊥CD,AB=BC=2,CD=1
∴AD==
∵侧面SAB为等边三角形,AB=2
∴SA=2
∵SD=1
∴AD2=SA2+SD2
∴SD⊥SA
同理:SD⊥SB
∵SA∩SB=S,SA,SB⊂面SAB
∴SD⊥平面SAB
(Ⅱ)建立如图所示的空间坐标系
则A(2,-1,0),B(2,1,0),C(0,1,0),
作出S在底面上的投影M,则由四棱锥S-ABCD中,AB∥CD,BC⊥CD,侧面SAB为等边三角形知,M点一定在x轴上,又AB=BC=2,CD=SD=1.可解得MD=,从而解得SM=,故可得S(,0,)
则
设平面SBC的一个法向量为
则,
即
取x=0,y=,z=1
即平面SBC的一个法向量为=(0,,1)
又=(0,2,0)
sin<,>===
∴<,>=arcsin
即AB与平面SBC所成的角的大小为arcsin