由于3,4,5是一组勾股数,能得到一个解x=2.设函数f(x)=3x+4x-5x,f(x)=0当且仅当g(x)=1+()x-()x=0.由此利用导数性质能推导出f(x)实根唯一.
【解析】
由于3,4,5是一组勾股数,能得到一个解x=2.
设函数f(x)=3x+4x-5x,
f(x)=0当且仅当g(x)=1+()x-()x=0时成立.
对g(x)求导
g'(x)=ln()•()x-ln()•()x,
对g'(x)作类似处理,令h(x)=ln()•()x-ln()•()x,
则g'(x)=0当且仅当h(x)=0成立,且h(x)与g'(x)都是单调递增函数.
∵h(x)是单调递增函数,∴h(x)=0有唯一解.
∵g'(x)是单调递增函数,∴g'(x)>0,
∴g(x)是单调递增函数,∴g(x)实根唯一.
所以f(x)实根唯一.
故选A.