(I)将条件可变形为,根据A﹑B﹑C三点共线,整理我们可得y=f(x)=ln(x+1)+1-2f'(1),求出,可得函数y=f(x)的表达式;
(Ⅱ)构造函数g(x)=f(x)-,证明函数g(x)在 (0,+∞)上是增函数,从而有g(x)>g(0)=0,即可证得;
(III)原不等式等价于,要使x∈[-1,1]恒成立,我们可以求出左边的最大值,从而将问题转化为m2-2bm-3≥[h(x)]max=0,构造一次函数令Q(b)=m2-2bm-3,要使b∈[-1,1]恒成立,则有Q(1)≥0及Q(-1)≥0,从而得解.
【解析】
(I)由三点共线知识,
∵=,∴,
∵A﹑B﹑C三点共线,
∴[y+2f'(1)]+[-ln(x+1)]=1
∴y=f(x)=ln(x+1)+1-2f'(1).
∴∴,
∴f(x)=ln(x+1)…4分
(Ⅱ)令g(x)=f(x)-,
由,
∵x>0,∴g'(x)>0
∴g(x)在 (0,+∞)上是增函数,
故g(x)>g(0)=0,即f(x)>;…8分
(III)原不等式等价于,令
h(x)==,由,
当x∈[-1,1]时,[h(x)]max=0,
∴m2-2bm-3≥0,
令Q(b)=m2-2bm-3,要使b∈[-1,1]恒成立,则有Q(1)≥0及Q(-1)≥0
即,解得m≤-3或m≥3.…12分.