Question

已知函数（a＞0）．
（1）求f（x）的单调区间；
（2）求f（x）在[1，+∞）上的最大值．

Answer

（1）求导函数，结合函数的定义域，利用导数的正负，可得f（x）的单调区间；
（2）分类讨论，求得f（x）在[1，+∞）上的单调性，即可求f（x）在[1，+∞）上的最大值．
【解析】
（1）f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=．…（2分）
令f′（x）=0得x=或x=-（舍）．
函数f（x），f′（x）随x的变化如下：

x （0，） （，+∞）
f′（x） + -
f（x） ↗ 极大值 ↘

所以f（x）的单调递增区间是（0，），单调递减区间是（，+∞）．…（6分）
（2）由（1）可知：
①当≤1，即0＜a≤1时，f（x）在[1，+∞）上单调递减．
∴fmax（x）=f（1）=0…（9分）
②当＞1，即a＞1时，f（x）在[1，）上单调递增，（，+∞）上单调递减．
∴…（13分）