Question

下列命题中，真命题是（ ）
A．∃x∈R，使得sinx+cosx=1.5
B．，使得sinx＞cos
C．∃x∈R，使得x²+x=-1
D．∀x∈（0，+∞），使得e^x＞1+

Answer

根据正弦型函数的值域，我们可以判定A的真假；根据正弦函数、余弦函数的图象与性质，我们可以判断B的真假；根据二次函数的性质，我们可以判断C的真假；根据导数工具，可以判断D的真假，进而得到答案．
【解析】
∵sinx+cosx=sin（x+）∈[-，]，而1.5＞，故A错误；
当x∈（0，]时，sinx≤cosx，故B错误；
当x2+x=-1时，x2+x+1=0，但其△=1-4=-3＜0．故C不正确；
对于D：设f（x）=ex-x-1，则f′（x）=ex-1，
∴当x=0时，f′（x）=0，f（x）=0．
当x＞0时，f′（x）＞0，
∴f（x）在（0，+∞）上是增函数，
∴f（x）＞f（0）=0．
∴对x∈（0，+∞），都有f（x）＞0，
∴ex＞x+1．故D正确；
故选D．