Question

设曲线y=e^-x（x≥0）在点M（t，e^-t）处的切线l与x轴，y轴所围成的三角形面积为S（t），则S（t）的最大值为    ．

Answer

先求切线斜率，进而可求切线方程，根据曲线y=e-x（x≥0）在点M（t，e-t）处的切线l与x轴y轴所围成的三角形面积为S（t），表示出S（t），再用导数法求解．
【解析】
因为f'（x）=（e-x）'=-e-x，所以切线l的斜率为-e-t，
故切线l的方程为y-e-t=-e-t（x-t），即e-tx+y-e-t（t+1）=0
令y=0得x=t+1，又令x=0得y=e-t（t+1）
所以S（t）=（t+1）•e-1（t+1）=（t+1）2e-1
从而S′（t）=e-1（1-t）（1+t）．
∵当t∈（0，1）时，S'（t）＞0，当t∈（1，+∞）时，S'（t）＜0，
∴S（t）的最大值为S（1）=．
故答案为：