Question

如图，已知过点A（0，1）的直线l与抛物线C：y=x²交于M，N两点，又抛物线C在M，N两点处的两切线交于点B，M，N两点的横坐标分别为x₁，x₂．
（1）求x₁x₂的值；
（2）求B点的纵坐标t的值．

Answer

（1）设直线l的方程为y=kx+1，代入y=x2，利用韦达定理可求x1x2的值；
（2）确定切线方程，求得交点坐标，利用（1）的结论，即可求B点的纵坐标t的值．
【解析】
（1）设直线l的方程为y=kx+1，代入y=x2，可得x2-kx-1=0
∵M，N两点的横坐标分别为x1，x2，
∴x1x2=-1；
（2）由y=x2，得y′=2x，
∴抛物线y=x2在点M（x1，y1）、N（x2，y2）处的切线的斜率分别为2x1，2x2，
∴抛物线C在M，N两点处的两切线方程分别为y-y1=2x1（x-x1），y-y2=2x2（x-x2），
即为y=2x1x-x12，y=2x2x-x22，
∴x2y=2x1x2x-x2x12，x1y=2x1x2x-x1x22，
∵x1x2=-1
∴两式相减，可得B点的纵坐标t=-1．