Question

如图，四棱锥P-ABCD的底面是梯形，AD∥BC，BA=AD=BC=2，∠ABC=60°，△PAB是等边三角形，平面PAB⊥平面ABCD，M是PC中点．
（1）求证：DM∥平面PAB；
（2）求直线BM与平面PAB所成角的大小．

Answer

（1）取PB中点N，连NM，NA，证明四边形NMDA为平行四边形，可得DM∥AN，利用线面平行的判定，可得线面平行；
（2）取PA中点G，连接MG，连接GB，则∠MBG为直线BM与平面PAB所成角，从而可得结论．
（1）证明：取PB中点N，连NM，NA，
∵，∴NM∥AD，NM=AD，
∴四边形NMDA为平行四边形，从而DM∥AN，
又AN⊂平面PAB，DM⊄平面PAB，∴DM∥平面PAB；
（2）【解析】
连接AC，则
∵AB=2，BC=4，∠ABC=60°
∴AC==2
∴AC⊥AB
∵平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD=AB，
∴AC⊥平面PAB
取PA中点G，连接MG，则MG∥AC，MG=，∴MG⊥平面PAB
连接GB，则∠MBG为直线BM与平面PAB所成角
在正三角形PAB中，BG=AB=
∴tan∠MBG==1
∴∠MBG=45°，即直线BM与平面PAB所成角为45°．