Question

已知函数f（x）=2x³-3x²-mx+n（m，n∈R），若函数在点（0，f（0））处的切线方程为y=-12x，
（1）求m，n的值；
（2）求函数f（x）在区间[-a，a]（a＞0）上的最大值．

Answer

（1）由f′（x）=6x2-6x-m，函数在点（0，f（0））处的切线方程为y=-12x，知，由此能求出m，n的值．
（2）由（1）知f（x）=2x3-3x2-12x，f′（x）=6x2-6x-12=6（x+1）（x-2），由此能求出f（x）的极大值为f（-1）=7，由f（a）=f（-1）=7，得，结合f（x）的图象能求出函数f（x）在区间[-a，a]（a＞0）上的最大值．
【解析】
（1）由题意知，f′（x）=6x2-6x-m，（1分）
∵函数在点（0，f（0））处的切线方程为y=-12x，
∴，（2分）
即，得，（3分）
（2）由（1）知f（x）=2x3-3x2-12x，
f′（x）=6x2-6x-12=6（x+1）（x-2），
由f'（x）＞0，得x＜-1或x＞2，
由f'（x）＜0，得-1＜x＜2，
∴f（x）在（-∞，-1）内单调递增，在（-1，2）内单调递减，在（2，+∞）内单调递增，（5分）
∴f（x）的极大值为f（-1）=7，
由f（a）=f（-1）=7，
得2a3-3a2-12a=7，2a3-3a2-12a-7=0，
∴（a+1）（2a2-5a-7）=0，∵a＞0，
∴，（7分）
结合f（x）的图象可得：
①当0＜a≤1时，f（x）在区间[-a，a]上的最大值为f（-a）=-2a3-3a2+12a，
②当时，f（x）在区间[-a，a]上的最大值为f（-1）=7，
③当时，f（x）在区间[-a，a]上的最大值为f（a）=2a3-3a2-12a．（10分）