Question

在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F，G，H分别是棱AD，DD₁，D₁A₁，A₁A的中点，M是AB的中点，点N在四边形EFGH的四边及其内部运动，则N满足条件    时，有MN⊥A₁C₁．

Answer

连接EG、EM、GM、BD，利用正方形AA1D1D对边中点连线，得到EG∥AA1，结合AA1⊥平面A1B1C1D1得到EG⊥平面A1B1C1D1，从而A1C1⊥EG．再利用△ABD中的中位线EM∥BD，结合B1D1∥BD，得到EM∥B1D1，再由A1C1⊥B1D1得到A1C1⊥EM，最后利用线面垂直的判定定理得到A1C1⊥平面EGM．因此，当点N在EG上时，直线MN⊂平面EGM，有MN⊥A1C1成立．
【解析】
（1）连接EG、EM、GM、BD
∵正方形AA1D1D中，E、G分别为AD、A1D1的中点
∴EG∥AA1
∵AA1⊥平面A1B1C1D1
∴EG⊥平面A1B1C1D1
∵A1C1⊂平面A1B1C1D1
∴A1C1⊥EG
∵在△ABD中，EM是中位线
∴EM∥BD
∵BB1∥DD1且BB1=DD1
∴四边形BB1D1D是平行四边形，B1D1∥BD
∴EM∥B1D1
∵正方形A1B1C1D1中，A1C1⊥B1D1
∴A1C1⊥EM
∵EM∩EG=E，EM、EG⊂平面EGM
∴A1C1⊥平面EGM
因此，当点N在EG上时，直线MN⊂平面EGM，有MN⊥A1C1成立．
故答案为：点N在线段EG上．