Question

已知曲线C：x²+y²-2x-4y+m=0．
（1）当m为何值时，曲线C表示圆；
（2）若曲线C与直线x+2y-4=0交于M、N两点，且OM⊥ON（O为坐标原点），求m的值．

Answer

（1）由二元二次方程表示圆的条件D2+E2-4F大于0列出关于m的不等式，求出不等式的解集即可得到m的取值范围；
（2）设出曲线与直线的交点M和N的坐标，联立曲线C与直线的方程，消去y后得到关于x的一元二次方程，利用韦达定理表示出两根之和与两根之积，然后由OM与ON垂直得到直线OM与ON斜率的乘积为-1，即M和N横坐标之积与纵坐标之积的和为0，由直线方程化为横坐标的关系式，把表示出的两根之和与两根之积代入即可求出m的值．
【解析】
（1）由D2+E2-4F=4+16-4m=20-4m＞0，解得m＜5；     （4分）
（2）设M（x1，y1），N（x2，y2），
联立直线x+2y-4=0与圆的方程x2+y2-2x-4y+m=0，
消去y，得：5x2-8x+4m-16=0，
由韦达定理得：①，②，
又由x+2y-4=0得，
由OM⊥ON得x1x2+y1y2=0，
∴，
将①、②代入上式得 ，
检验知满足△＞0，故为所求． （13分）