Question

已知函数f（x）=cos（2x-）+2sin（x-）sin（x+）
（1）求f（）的值；
（2）求函数f（x）的最小正周期和图象的对称轴方程；
（3）求函数f（x）在区间[-，]上的值域．

Answer

（1）由二倍角的公式、余弦的差角公式和辅助角公式，化简整理得f（x）=sin（2x-），由此即可得到f（）的值；
（2）根据（1）中求出的表达式，结合正弦曲线的对称轴公式和三角函数的周期公式，即可得到f（x）的最小正周期和图象的对称轴方程；
（3）根据题意得：2x-∈[-，]，结合正弦函数在区间[-，]上的单调性，即可得到f（x）在区间[-，]上的值域．
【解析】
（1）∵f（x）=cos（2x-）+2sin（x-）sin（x+）
=coscos2x+sinsin2x+2sin（x-）cos（x-）
=cos2x+sin2x+sin（2x-）
=sin2x-cos2x=sin（2x-）
∴f（）=sin（2×-）=sin=
（2）由（1）得f（x）=sin（2x-）
∴f（x）的最小正周期T==π
令2x-=+kπ，（k∈Z），得x=+，（k∈Z）
∴函数图象的对称轴方程为 x=+，（k∈Z）
（2）∵x∈[-，]，得-≤2x-≤，
∴当2x-=时，即x=时，sin（2x-）达到最大值1；
当2x-=-时，即x=-时，sin（2x-）达到最小值-；
综上所述，得f（x）在区间[-，]上的值域为[-，1]．