Question

已知点M（3，1），直线l：ax-y+4=0及圆C：x²+y²-2x-4y+1=0
（1）求经过M点的圆C的切线方程；
（2）若直线l与圆C相切，求a的值；
（3）若直线l与圆C相交与A，B两点，且弦AB的长为2，求a的值．

Answer

（1）圆方程化为标准方程，分类讨论，利用圆心到直线的距离等于半径，即可求经过M点的圆C的切线方程；
（2）利用圆心到直线的距离等于半径，即可求出a的值；
（3）利用弦心距与半径，半弦长的关系，即可求出a的值．
【解析】
（1）圆方程化为（x-1）2+（y-2）2=4
∴圆心（1，2），半径为2
斜率不存在时，经过M点的直线方程为x=3，满足题意；
设经过M点的圆C的切线方程为y-1=k（x-3），即kx-y-3k+1=0
∴d==2
∴k=
∴切线方程为3x-4y-5=0
综上，经过M点的圆C的切线方程为x=3和3x-4y-5=0；
（2）∵直线l与圆C相切，∴=2，解得a=0或a=；
（3）圆心（1，2）到直线ax-y+4=0的距离为，
∵直线l与圆C相交与A，B两点，且弦AB的长为2，
∴（）2+（）2=4，解得a=-．