Question

已知二次函数f（x）=x²-16x+q+3：
（1）若函数在区间[-1，1]上存在零点，求实数q的取值范围；
（2）若不等式f（x）+51≥0对任意x∈[q，10]均成立，求实数q的取值范围．

Answer

（1）利用二次函数的性质和函数零点的判断方法即可求出；
（2）通过讨论q与顶点的横坐标8的大小关系，再利用二次函数的单调性即可求出．
【解析】
（1）∵二次函f（x）=x2-16x+q+3的对称轴是x=8，
∴函数f（x）在区间[-1，1]上单调递减．
∴要函数f（x）在区间[-1，1]上存在零点须满足f（-1）f（1）≤0，
即 （1+16+q+3）（1-16+q+3）≤0，化为（q+20）（q-12）≤0．
解得-20≤q≤12．
∴实数q的取值范围是[-20，12]．
（2）记g（x）=f（x）+51=x2-16x+q+54，
①当q＜8时，g（x）min=g（8），
∴g（8）≥0，即64-128+q+54≥0，解得q≥10．
又∵q＜8，∴无解．
②当q≥8时，g（x）min=g（q），
∴g（q）≥0，即q2-16q+q+54≥0，解得q≥9或q≤6．
又∵q≥8，∴q≥9，又由题意可知q＜10．
综上可得：9≤q＜10．