Question

正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，各棱长均为2，M为AA₁中点，N为BC的中点．
（1）求异面直线BM和C₁N所成角的余弦值；
（2）一只小虫沿着棱柱的侧面爬行，若它从棱柱的侧面ABB₁A₁内的点M开始爬行，途经侧棱BB₁，再到达侧面BCC₁B₁内的点N，那么这只小虫爬行的最短距离是多少？

Answer

（1）取B1C1的中点P，连接BP，A1P，MP，可证得BP∥C1N，则∠PBM即为直线BM和C1N所成角，解三角形PBM，可得异面直线BM和C1N所成角的余弦值；
（2）没棱BB1将棱柱的侧面展开，将空间线段和最小转化为平面上两点之间的距离最短问题，根据已知代入勾股定理可得答案．
【解析】
（1）取B1C1的中点P，连接BP，A1P，MP
由于N也是BC的中点，故BN∥PC1，且BN=PC1，
即四边形PC1NB为平行四边形，
∴BP∥C1N
故∠PBM即为直线BM和C1N所成角
∵三棱柱ABC-A1B1C1中，各棱长均为2，M为AA1中点，N为BC的中点
∴在△PBM中，BM==，
BP==，
PM==2
故cos∠PBM==
（2）没棱BB1将棱柱的侧面展开，如下图所示

由图可知，小虫爬行的最短距离为==