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已知圆满足:①截y轴所得弦长为2;②被x轴分成两段圆弧,其弧长的比为3:1;③圆...

已知圆满足:①截y轴所得弦长为2;②被x轴分成两段圆弧,其弧长的比为3:1;③圆心到直线l:x-2y=0的距离为manfen5.com 满分网.求该圆的方程.
设出圆P的圆心坐标,由圆被x轴分成两段圆弧,其弧长的比为3:1,得到圆P截x轴所得劣弧对的圆心角为90°,根据垂径定理得到圆截x轴的弦长,找出r与b的关系式,又根据圆与y轴的弦长为2,利用垂径定理得到r与a的关系式,两个关系式联立得到a与b的关系式;然后利用点到直线的距离公式求出P到直线x-2y=0的距离,让其等于,得到a与b的关系式,将两个a与b的关系式联立即可求出a与b的值,得到圆心P的坐标,然后利用a与b的值求出圆的半径r,根据圆心和半径写出圆的方程即可. 【解析】 设圆P的圆心为P(a,b),半径为r, 则点P到x轴,y轴的距离分别为|b|,|a|. 由题设知圆P截x轴所得劣弧对的圆心角为90°, 知圆P截x轴所得的弦长为.故r2=2b2 又圆P被y轴所截得的弦长为2,所以有r2=a2+1.从而得2b2-a2=1; 又因为P(a,b)到直线x-2y=0的距离为,所以=,即有a-2b=±1, 由此有或 解方程组得或,于是r2=2b2=2, 所求圆的方程是:(x+1)2+(y+1)2=2,或(x-1)2+(y-1)2=2.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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