Question

已知圆C：（x+2）²+y²=4，相互垂直的两条直线l₁、l₂都过点A（a，0）．
（Ⅰ）若l₁、l₂都和圆C相切，求直线l₁、l₂的方程；
（Ⅱ）当a=2时，若圆心为M（1，m）的圆和圆C外切且与直线l₁、l₂都相切，求圆M的方程；
（Ⅲ）当a=-1时，求l₁、l₂被圆C所截得弦长之和的最大值．

Answer

（1）根据题意得l1，l2的斜率都存在，设，则，由此能够求出直线l1、l2的方程．
（2）设圆的半径为r，则解得，由此能得到所求圆M的方程．
（3）当a=-1时，l1、l2被圆C所截得弦的中点分别是E、F，当a=-1时，l1、l2被圆C所截得弦长分别是d1、d2；圆心为B，则AEBF为矩形，所以BE2+BF2=AB2=1，由此能够求出l1、l2被圆C所截得弦长之和的最大值．
【解析】
（1）根据题意得l1，l2的斜率都存在，设（1分）
则（6分）
（2）设圆的半径为r，则解得
所以所求圆M的方程为（11分）
（3）当a=-1时，l1、l2被圆C所截得弦的中点分别是E、F，当a=-1时，l1、l2被圆C所截得弦长分别是d1、d2；圆心为B，则AEBF为矩形，
所以BE2+BF2=AB2=1，即∴d12+d22=28，（14分）
所以
即l1、l2被圆C所截得弦长之和的最大值（16分）