Question

如图所示，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M，E，F，N分别为A₁B₁，B₁C₁，C₁D，D₁A₁的中点，求证：
（1）E，F，B，D，四点共面；
（2）面MAN∥面EFDB．

Answer

（1）由E，E分别是B1C1，C1D的中点，知EF∥B1D1，从而得到EF∥BD，由此能证明E，F，B，D，四点共面．
（2）由题设条件推导出MN∥EF，AN∥CF，由此能够证明面MAN∥面EFDB．
证明：（1）∵E，E分别是B1C1，C1D的中点，
∴EF∥B1D1，
∵B1D1∥BD，∴EF∥BD，
∴E，F，B，D，四点共面．
（2）∵M，N分别是A1B1，D1A1的中点，
∴MN∥B1D1，
∵EF∥B1D1，∴MN∥EF，
∵F，N分别是D1C1、A1B1的中点，
∴NFA1D1，
∵，∴NFAC，
∴四边形NFCA是平行四边形，
∴AN∥CF，
∵MN∩AN=N，EF∩DF=F，
∴面MAN∥面EFDB．