Question

椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，该椭圆经过点且离心率为．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若直线l：y=kx+m与椭圆C相交A，B两点（A，B不是左右顶点），且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．

Answer

（1）根据椭圆的方程和简单几何性质，使用待定系数法即可；
（2）要证明直线系y=kx+m过定点，就要找到其中的参数k，m之间的关系，把双参数化为但参数问题解决，这只要根据直线l：y=kx+m与椭圆C相交A，B两点（A，B不是左右顶点），且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点即可，这个问题等价于椭圆的右顶点与A，B的张角是直角．
【解析】
（1）椭圆的标准方程为（4分）
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），得：（3+4k2）x2+8kmx+4（m2-3）=0，
∵△＞0，∴3+4k2-m2＞0，
∴（6分）
∵以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点，∴kAD•kBD=-1，
∴y1y2+x1x2-2（x1+x2）+4=0，∴7m2+16mk+4k2=0，
∴m1=-2k，k，且均满足3+4k2-m2＞0，（9分）
当m1=-2k时，l的方程为y=k（x-2），则直线过定点（2，0）与已知矛盾
当时，l的方程为，则直线过定点
∴直线l过定点，定点坐标为（12分）