Question

已知圆C的圆心在直线y=x+1上，且过点A（1，3），与直线x+2y-7=0相切．
（1）求圆C的方程；
（2）设直线l：ax-y-2=0（a＞0）与圆C相交于A、B两点，求实数a的取值范围．

Answer

（1）设圆心C（a，b），由圆C的圆心在直线y=x+1上，且过点A（1，3），与直线x+2y-7=0相切，建立方程组求出圆心和半径，由此能求出圆C的方程．
（2）把直线y=ax-2代入圆的方程，得（a2+1）x2-6ax+4=0，由直线ax-y+5=0交圆于A，B两点，知5a2-4＞0，由此能求出实数a的取值范围．
【解析】
（1）设圆心C（a，b），
∵圆C的圆心在直线y=x+1上，且过点A（1，3），与直线x+2y-7=0相切，
∴，
解得a=0，b=1，
∴圆心C（0，1），圆半径r=|AC|==，
∴圆C的方程为x2+（y-1）2=5．（8分）
（2）把直线ax-y-2=0，即y=ax-2代入圆的方程x2+（y-1）2=5，
消去y整理，得（a2+1）x2-6ax+4=0，
∵直线ax-y+5=0交圆于A，B两点，
∴△=36a2-16（a2+1）＞0．即5a2-4＞0，
由于a＞0，解得a＞．
所以实数a的取值范围是（，+∞）． （15分）