Question

已知圆N：（x+2）²+y²=8和抛物线C：y²=2x，圆的切线l与抛物线C交于不同的两点A，B，
（1）当直线l的斜率为1时，求线段AB的长；
（2）设点M和点N关于直线y=x对称，问是否存在直线l使得？若存在⊥，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）圆N的圆心N为（-2，0），半径，设A（x1，y1），B（x2，y2），设l的方程，利用直线l是圆N的切线，求得m的值，从而可得直线l的方程，与抛物线方程联立，利用韦达定理，即可计算弦长|AB|；
（2）设直线l的方程，利用直线l是圆N的切线，可得直线l的方程，与抛物线方程联立，利用，可得m的值，从而可得直线l的方程；当直线l的斜率不存在时不成立．
【解析】
因为圆N：（x+2）2+y2=8，所以圆心N为（-2，0），半径，…（1分）
设A（x1，y1），B（x2，y2），
（1）当直线l的斜率为1时，设l的方程为y=x+m即x-y+m=0
因为直线l是圆N的切线，所以，解得m=-2或m=6（舍），此时直线l的方程为y=x-2，…（3分）
由消去x得y2-2y-4=0，
所以△＞0，y1+y2=2，y1y2=4，…（4分）
所以
所以弦长…（6分）
（2）设直线l的方程为y=kx+m即kx-y+m=0（k≠0）
因为直线l是圆N的切线，所以，得m2-4k2-4mk-8=0…①…（8分）
由消去x得 ky2-2y+2m=0，
所以△=4-4k×2m＞0即且k≠0，，．
因为点M和点N关于直线y=x对称，所以点M为（0，-2）
所以，，
因为，所以=x1x2+（y1+2）（y2+2）=0…（10分）
将A，B在直线y=kx+m上代入化简得
代入，得
化简得 m2+4k2+2mk+4k=0…②
①+②得 2m2-2mk+4k-8=0，即（m-2）（m-k+2）=0，解得m=2或m=k-2
当m=2时，代入①解得k=-1，满足条件且k≠0，此时直线l的方程为y=-x+2；
当m=k-2时，代入①整理得 7k2-4k+4=0，无解．…（12分）
当直线l的斜率不存在时，因为直线l是圆N的切线，所以l的方程为，
则得，y1+y2=0，即
由①得：=x1x2+（y1+2）（y2+2）
=
当直线l的斜率不存在时不成立．
综上所述，存在满足条件的直线l，其方程为y=-x+2…（14分）
另【解析】

（2）设直线l的方程为x=my+a即x-my-a=0（m必存在）
因为直线l是圆N的切线，所以，得a2+4a-8m2-4=0…①…（8分）
由消去x得 y2-2my-2a=0，
所以△=4m2+8a＞0即m2+2a＞0，y1+y2=2m，y1y2=-2a．…（10分）
因为点M和点N关于直线y=x对称，所以点M为（0，-2）
所以，，
因为，所以=x1x2+（y1+2）（y2+2）=0
将A，B在直线x=my+a上代入化简得…（12分）
代入y1+y2=2m，y1y2=-2a得（1+m2）（-2a）+（am+2）（2m）+a2+4=0
化简得 a-2a+4m+4=0…②
①+②得 2a2+2a-8m2+4m=0，即（a+2m）（a-2m+1）=0，解得a=-2m或a=2m-1
当a=-2m时，代入①解得m=-1，a=2，满足条件m2+2a＞0；
当a=2m-1时，代入①整理得 4m2-4m+7=0，无解．
综上所述，存在满足条件的直线l，其方程为y=-x+2…（14分）