Question

已知两点A（2，3）、B（4，1），直线l：x+2y-2=0，在直线l上求一点P．
（1）使|PA|+|PB|最小；
（2）使|PA|-|PB|最大．

Answer

先判断A、B与直线l：x+2y-2=0的位置关系，即把点的坐标代入x+2y-2，看符号相同在同侧，相反异侧．
（1）使|PA|+|PB|最小，如果A、B在l的同侧，将其中一点对称到l的另一侧，连线与l的交点即为P；
如果A、B在l的异侧，则直接连线求交点P即可．
（2）使|PA|-|PB|最大．如果A、B在l的同侧，则直接连线求交点P即可；
如果A、B在l的异侧，将其中一点对称到l的另一侧，连线与l的交点即为P．
【解析】
（1）可判断A、B在直线l的同侧，设A点关于l的对称点A1的坐标为（x1，y1）．
则有+2•-2=0，•（-）=-1．
解得
x1=-，
y1=-．
由两点式求得直线A1B的方程为y=（x-4）+1，直线A1B与l的交点可求得为P（，-）．
由平面几何知识可知|PA|+|PB|最小．
（2）由两点式求得直线AB的方程为y-1=-（x-4），即x+y-5=0．
直线AB与l的交点可求得为P（8，-3），它使|PA|-|PB|最大．