Question

已知椭圆E：=1（a＞b＞o）的离心率e=，且经过点（，1），O为坐标原点．
（Ⅰ）求椭圆E的标准方程；
（Ⅱ）圆O是以椭圆E的长轴为直径的圆，M是直线x=-4在x轴上方的一点，过M作圆O的两条切线，切点分别为P、Q，当∠PMQ=60°时，求直线PQ的方程．

Answer

（Ⅰ）根据椭圆E：=1（a＞b＞0）的离心率e=，可得a2=2b2，利用椭圆E：=1经过点（，1），我们有，从而可求椭圆E的标准方程；
（Ⅱ）连接OM，OP，OQ，设M（-4，m），由圆的切线性质及∠PMQ=60°，可知△OPM为直角三角形且∠OMP=30°，从而可求M（-4，4），进而以OM为直径的圆K的方程为（x+2）2+（y-2）2=8与圆O：x2+y2=8联立，两式相减可得直线PQ的方程．
【解析】
（Ⅰ）∵椭圆E：=1（a＞b＞0）的离心率e=，
∴，∴，∴a2=2b2①
∵椭圆E：=1经过点（，1），
∴②
①代入②可得b2=4
∴a2=2b2=8
∴椭圆E的标准方程为；
（Ⅱ）连接OM，OP，OQ，设M（-4，m）
由圆的切线性质及∠PMQ=60°，可知△OPM为直角三角形且∠OMP=30°
∵|OP|=2，∴
∴
∵m＞0，∴m=4
∴M（-4，4）
∴以OM为直径的圆K的方程为（x+2）2+（y-2）2=8
与圆O：x2+y2=8联立，两式相减可得直线PQ的方程为：x-y+2=0