Question

已知点M（2，0），P为抛物线C：y²=2px（p＞0）上一动点，若|PM|的最小值为．
（1）求抛物线C的方程；
（2）已知⊙M：（x-2）²+y²=r²（r＞0），过原点O作⊙M的两条切线交抛物线于A，B两点，若直线AB与⊙M也相切．
（i）求r的值；
（ii）对于点Q（t²，t），抛物线C上总存在两个点R，S，使得△QRS三边与⊙M均相切，求t的取值范围．

Answer

（1）点M（2，0），P为抛物线C：y2=2px（p＞0）上一动点，设P（，y），所以|PM|2=（-2）2+y2=y4+（1-）y2+4，由此能求出抛物线C的方程．
（2）（i）由题意A（2+r，），B（2+r，-），知，由此能求出r．
（ii）设，则，△QRS三边与⊙M均相切，故，由此能求出t．
【解析】
（1）∵点M（2，0），P为抛物线C：y2=2px（p＞0）上一动点，设P（，y），
∴|PM|2=（-2）2+y2=y4+（1-）y2+4，
∴对称轴为y2=2p（2-p）．
当p≥2，|PM|min=2，舍
当0＜p＜2，，解得或（舍），
所以y2=x．
（2）（i）由题意A（2+r，），B（2+r，-），
∴，
OA：y=，∴，
∴（r-1）（r+2）2=1，
解得r=1．
（ii）设，则
∵△QRS三边与⊙M均相切，
∴，从而，将t1换成t2也成立
因为t1≠t2，所以t2≠1
故t1，t2为方程（1-t2）x2-2tx+t2-3=0的两根，
∴，
故，即，
圆心到RS的距离，
解得t=±1．
故t的取值范围是{-1，1}．