(I)先求出函数f(x)的导函数f′(x),由a>0,x>0,得-ax-1<0,进而得到函数的单调区间;
(II)(i)令f′(x)=0,求出函数的临界点,再对a进行分类讨论,结合(I)的结果判断出函数的单调性,进行得出函数的极值,根据单调性和题意确定极值的符号,分别求出a的范围,最后要求它们的并集;
(ii)先证明下列不等式:当a>3时,对任意的x∈(0,1),f(2-x)>f(x)令g(x)=f(2-x)-f(x),,则g(x)在(0,1]单调递减,由此及彼入手,能够证明x1+x2>2.
【解析】
(Ⅰ)
由于a>0,x>0,得-ax-1<0,
∴f(x)的单调递增区间为(0,1],单调递减区间为[1,+∞).
(Ⅱ),x>0,令f′(x)=0,解得x=1,或,
(i)当a>0时,f(x)在(0,1]单调递增,[1,+∞)单调递减.
∴f(1)>0,即,∴a>3
当-1<a<0时,>1,
∴f(x)在(0,1]单调递增,在单调递减,在单调递增,
要使的f(x)在(0,+∞)上有两个相异零点,
则,此时方程无解.
综上所得,实数a的范围为(3,+∞)
(ii)先证明下列不等式:当a>3时,对任意的x∈(0,1),f(2-x)>f(x)
令g(x)=f(2-x)-f(x),,
则g(x)在(0,1]单调递减,
又∵g(1)=0,∴g(x)>g(1)=0,
即对任意的x∈(0,1),f(2-x)>f(x)
由(i)得函数f(x)的两个零点x1,x2(不妨设x1<x2),满足0<x1<1<x2,
故0=f(x2)=f(x1)<f(2-x1)
由于x2>1,2-x1>1,又由(i)得f(x)在(1,+∞)上单调递减,从而x2>2-x1
即x1+x2>2.