Question

在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，点M、N分别在AB₁、BC₁上，且，则下列结论①AA₁⊥MN；②A₁C₁∥MN；③MN∥平面A₁B₁C₁D₁；④B₁D₁⊥MN中，正确命题的个数是（ ）

A．4
B．3
C．2
D．1

Answer

先把点M，N放入与平面A1B1C1D1平行的平面GFEH中，利用线面垂直的性质判断①正确，利用平行公理判断②错误，利用面面平行的性质判断③正确，利用面面平行以及线线垂直的性质判断④错误，就可得到结论．
解；在正方体ABCD-A1B1C1D1的四条棱A1A，B1B，C1C，D1D上分别取点G，F，E，H四点，
使AG=A1A，BF=B1B，CE=C1C，DH=D1D，连接GF，FE，EH，HG，
∵点M、N分别在AB1、BC1上，且，
∴M在线段GF上，N点在线段FE上．且四边形GFEH为正方形，平面GFEH∥平面A1B1C1D1，
∵AA1⊥平面A1B1C1D1，∴AA1⊥平面GFEH，∵MN⊂平面GFEH，∴AA1⊥MN，∴①正确．
∵A1C1∥GE，而GE与MN不平行，∴A1C1与MN不平行，∴②错误．
∵平面GFEH∥平面A1B1C1D1，MN⊂平面GFEH，∴MN∥平面A1B1C1D1，∴③正确．
∵B1D1⊥FH，FH⊂平面GFEH，MN⊂平面GFEH，B1D1⊂平面A1B1C1D1，平面GFEH∥平面A1B1C1D1，
且MN与FH不平行，∴B1D1不可能垂直于MN，∴④错误
∴正确命题只有①③
故选C