(I)连接AC交BD于F,连接EF,由ABCD是平行四边形,知F为AC的中点,由E为SC的中点,知SA∥EF,由此能够证明SA∥平面BDE.
(Ⅱ)由AB=2,AD=,∠BAD=30°,利用余弦定理得BD=1,由AD2+BD2=AB2,知AD⊥BD.由此能够证明AD⊥SB.
(Ⅲ)以DA为x轴,以DB为y轴,以DS为z轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能够求出二面角E-BD-C的余弦值.
(I)证明:连接AC交BD于F,连接EF,
由ABCD是平行四边形,知F为AC的中点,
又E为SC的中点,所以SA∥EF,
∵SA⊄平面BDE,EF⊂平面BDE,
∴SA∥平面BDE.…(4分)
(Ⅱ)证明:由AB=2,AD=,∠BAD=30°,
及余弦定理得BD2=AB2+AD2-2AB•ADcos∠BAD=1,
∵AD2+BD2=AB2,∴AD⊥BD.
∵SD⊥平面ABCD,AD⊂平面ABCD,
∴AD⊥SD,
∴AD⊥平面SBD,又SB⊂平面SBD,
∴AD⊥SB.…(8分)
(Ⅲ)【解析】
∵SD⊥底面ABCD,AD⊥BD,∴以DA为x轴,以DB为y轴,以DS为z轴,建立空间直角坐标系,
∵SD=2,∠BAD=30°,AB=2,AD=,E是SC的中点.
∴B(0,1,0),C(-,2,0),D(0,0,0),E(-,,1),
∴,=(-,,1),
设平面BDE的法向量=(x,y,z),则,,
∴,解得=(2,0,),
∵平面BDC的法向量=(0,0,1),
∴二面角E-BD-C的余弦值为cos<>==.