Question

已知函数f（x）=λ•2^x-4^x的定义域为[0，1]．
（1）若函数f（x）在[0，1]上是单调递减函数，求实数λ的取值范围；
（2）若函数f（x）的最大值为，求实数λ的值．

Answer

（1）设2x=t，原题转化为y=-t2+λt在[1.2]是减函数，由此能求出实数λ的取值范围．
（2）设2x=t，原题转化为y=-t2+λt=-（t-）2+，t∈[1.2]最大值为，求实数λ的值．对λ分类讨论，求出在区间[1，2]上的最大值，使其等于，解出λ即可．
【解析】
（1）设2x=t，
∵函数f（x）=λ•2x-4x=-（2x）2+λ•2x定义域为[0，1]，
∴2x∈[1，2]，y=-t2+λt，t∈[1.2]，
∵函数f（x）在[0，1]上是单调递减函数，
∴y=-t2+λt在[1.2]是减函数，
∴t=≤1，解得λ≤2，
∴实数λ的取值范围是（-∞，2]．
（2）∵函数f（x）=λ•2x-4x的定义域为[0，1]，最大值为，
由（1）知，y=-t2+λt=-（t-）2+，t∈[1.2]，
∴对称轴方程为t=，
①当1时，y=-（t-）2+在[1.2]是减函数，
∴当t=1时，y取最大值=，解得．
②当12时，当t=时，y取最大值ymax=-（）2+=，解得，（舍）
③当时，当t=2时，y取最大值ymax=-（2-）2+=，解得．
综上所述，实数λ的值为，或．