Question

已知数列{a_n}满足a₁=2，a_n+1=2（1+）²•a_n．
（1）求证数列{}是等比数列，并求其通项公式；
（2）设b，求数列{b_n}的前n项和S_n；
（3）设C_n=，求证：．

Answer

（1）利用an+1=2（1+）2•an，可得=2•，从而可得{}是以2为首项，2为公比的等比数列，即可并求其通项公式；
（2）利用错位相减法，可求数列{bn}的前n项和Sn；
（3）利用放缩法，结合等比数列的求和公式，即可证得结论．
（1）【解析】
∵an+1=2（1+）2•an，
∴=2•
∵a1=2，∴{}是以2为首项，2为公比的等比数列
∴
∴an=n2•2n；  
（2）【解析】
=n•2n
∴Sn=1•21+2•22+…+n•2n
∴2Sn=1•22+2•23+…+（n-1）•2n+n•2n+1
两式相减可得-Sn=2n+1-2-n•2n+1
∴Sn=2+（n-1）•2n+1；
（3）证明：cn==＞0，
设Tn=c1+c2+c3+…+cn，则T1＜T2＜T3＜T4，
当n≥4时，Tn=＜=-＜＜=
综上：c1+c2+c3+…+cn＜