Question

过双曲线2x²-y²=1上一点A（1，1）作两条动弦AB，AC，且直线AB，AC的斜率的乘积为3．
（1）问直线BC是否可与坐标轴垂直？若可与坐标轴垂直，求直线BC的方程，若不与坐标轴垂直，试说明理由．
（2）证明直线BC过定点．

Answer

（1）分类讨论，利用直线AB，AC的斜率的乘积为3，即可求得结论；
（2）令BC：y=kx+b，代入双曲线方程，得出k+5b+1=0，所以，因此直线BC过定点M，直线y=-也过定点，从而可得结论．
（1）【解析】
令B（x1，y1），C（x2，y2）．
当BC与x轴垂直时，有x1=x2，y1=-y2，
故：3=
∴x1=，与|x1|≥矛盾，因此BC不与x轴垂直..（3分）
当BC与y轴垂直时，有x1=-x2，y1=y2，
故：3=
∴y1=-，因此BC可与y轴垂直，此时BC的方程为y=-．（5分）
（2）证明：当BC不与坐标轴垂直时，kAB•kAC==3，
故3（x1-1）（x2-1）=（y1-1）（y2-1）．…①…（6分）
令BC：y=kx+b，代入双曲线方程有：2x2-（kx+b）2=1⇔（2-k2）x2-2kbx-b2-1=0．…②
x1，x2是方程②的两个实根．令f（x）=（2-k2）x2-2kbx-b2-1，
则（x1-1）（x2-1）=．③…..（8分）
直线方程又可写成：x=，代入2x2-y2=1，有：2（y-b）2-k2y2=k2，整理得：（2-k2）y2-4by+2b2-k2=0．…④
y1，y2是方程④的两个实根．
令g（y）=（2-k2）y2-4by+2b2-k2．
（y1-1）（y2-1）=．…⑤…（10分）   
③，⑤两式代入①式，有：，
故3[1-（k+b）2]=2[（b-1）2-k2]，
从而：3（1-k-b）（1+k+b）=2（b-1-k）（b-1+k）．…⑥
因为点A（1，1）不在直线y=kx+b上，故k+b≠1．
利用⑥，可知：3 （1+k+b）+2（b-1-k）=0，
即k+5b+1=0，所以． 
因此直线BC过定点M，直线y=-也过定点M．
综上所述，直线BC恒过定点M．…（14分）