Question

函数f （x） 对一切实数x，y均有f（x+y）-f（y）=x（x+2y+1）成立，且f （1）=0．
（Ⅰ）求f （0）的值；
（Ⅱ）求函数f（x）的表达式；
（Ⅲ）当时，f （x）+2＜log_ax恒成立，试求实数a的取值范围．

Answer

（Ⅰ）根据函数f （x） 对一切实数x，y均有f（x+y）-f（y）=x（x+2y+1）成立，令x=1，y=0可求出f（0）的值；
（Ⅱ）令 y=0，可得函数f（x）的表达式；
（Ⅲ）将f （x）的解析式代入得x2+x＜logax，又，所以x2+x＞0，当a＞1时，logax＜0，说明a＞1不合题意，，即h（x）＜0恒成立然后利用导数研究函数的单调性，求出函数h（x）的最大值，使最大值小于等于0即可．
【解析】
（Ⅰ）∵函数f （x） 对一切实数x，y均有f（x+y）-f（y）=x（x+2y+1）成立
∴令x=1，y=0，f（1+0）-f（0）=1（1+2×0+1）⇒f（0）=-2…（3分）
（Ⅱ）令 y=0，可得  f（x）=x2+x-2…（5分）
（Ⅲ）f （x）+2＜logax即  x2+x＜logax
又，所以x2+x＞0，
当a＞1时，logax＜0，说明a＞1不合题意．…（7分）
，即h（x）＜0恒成立
因为
当时，h'（x）＞0恒成立…（9分）
所以 h（x）是增函数，有 …（11分）
只需 恒成立，解得  
所以实数a的取值范围是 …（14分）