Question

（1）△ABC中，证明：sin²A=sin²B+sin²C-2sinBsinCcosA
（2）计算：sin²17°+cos²47°+sin17°cos47°．

Answer

（1）根据余弦定理得到a2关于b、c和cosA的式子，结合正弦定理得a=2RsinA、b=2RsinB、c=2RsinC，将其代入前面的式子，约去4R2即可得到所求证的等式成立．
（2）由诱导公式得cos47°=sin43°，从而原式=sin217°+sin243°+sin17°sin43°．构造△ABC中：B=17°，C=43°，A=120°，利用（1）中的结论可得原式=sin2120°=．
【解析】
（1）△ABC中，根据余弦定理，得a2=b2+c2-2bccosA…（*）
又∵===2R（R是外接圆半径）
∴a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC
代入（*）式，得4R2sin2A=4R2sin2B+4R2sin2C-2•2RsinB•2RsinCcosA
两边约去4R2，得sin2A=sin2B+sin2C-2sinBsinCcosA，原等式成立．
（2）∵cos47°=cos（90°-43°）=sin43°
∴sin217°+cos247°+sin17°cos47°=sin217°+sin243°+sin17°sin43°
设△ABC中，B=17°，C=43°，则A=180°-（17°+43°）=120°
由（1）得：sin2A=sin2B+sin2C-2sinBsinCcosA，
即sin2120°=sin217°+sin243°-2sin17°sin43°cos120°=sin217°+sin243°+sin17°sin43°
∴sin217°+sin243°+sin17°sin43°=sin2120°=（）2=
即sin217°+cos247°+sin17°cos47°=．