Question

已知函数f（x）=e^x-x，g（x）=x²-alnx．a＞0
（1）写出f（x）的单调递增区间，并证明e^a＞a；
（2）讨论函数y=g（x）在区间（1，e^a）上零点的个数．

Answer

（1）求出f′（x）=ex-1，令其等于零找出函数的稳定点，得到当x＞0时，f′（x）=ex-1＞0，推出f（x）在[0，+∞）上是增函数，因为a＞0，得f（a）＞f（0）=1＞0，即ea-a＞0得证．
（2）由ea＞a（a≥0），函数的导函数g′（x），然后利用导数研究函数g（x）在区间（1，ea）上的最小值，最后讨论最小值的符号，从而确定函数g（x）在区间（1，ea）上的零点情况．
【解析】
（1）∵f（x）=ex-x，∴f′（x）=ex-1，
令f′（x）=0，得到x=0．
当x＞0时，f′（x）=ex-1＞1-1=0，
∴f（x）的单调递增区间是[0，+∞）．
∵a＞0，∴f（a）＞f（0）=1＞0．
所以，ea-a＞0，即ea＞a．
（2）∵g（x）=x2-alnx．a＞0，
∴g′（x）=2x-==．
当0＜x＜时，g′（x）＜0，g（x）为减函数；
当x＞时，g′（x）＞0，g（x）为增函数．
∴g（x）min=g（）=（1-ln）．
①当（1-ln）＞0，即0＜a＜2e时，函数f（x）在（1，ea）上无零点；
②当（1-ln）=0，即a=2e时，=，则1＜＜ea，
而f（1）=1＞0，f（）=0，f（ea）＞0，
∴f（x）在（1，ea）上有一个零点；
③当（1-ln）＜0，
即a＞2e时，ea＞＞＞1，有1＜＜ea．
而g（1）=1＞0，g（ea）=e2a-a2=（ea-a）（ea+a）＞0，
当a＞2e时，g（x）min=g（）=（1-ln）＜0，
所以，当a＞2e时，函数g（x）在（1，ea）上有两个零点．
综上所述：当0＜a＜2e时，函数f（x）有、无零点；
a=2e时，函数f（x）有一个零点；
当a＞2e时，函数f（x）有两个零点．