(1)证明A1C⊥平面BCDE,因为A1C⊥CD,只需证明A1C⊥DE,即证明DE⊥平面A1CD;
(2)建立空间直角坐标系,用坐标表示点与向量,求出平面A1BE法向量,=(-1,0,),利用向量的夹角公式,即可求得CM与平面A1BE所成角的大小;
(3)设线段BC上存在点P,设P点坐标为(0,a,0),则a∈[0,3],求出平面A1DP法向量为
假设平面A1DP与平面A1BE垂直,则,可求得0≤a≤3,从而可得结论.
(1)证明:∵CD⊥DE,A1D⊥DE,CD∩A1D=D,
∴DE⊥平面A1CD,
又∵A1C⊂平面A1CD,∴A1C⊥DE
又A1C⊥CD,CD∩DE=D
∴A1C⊥平面BCDE
(2)【解析】
如图建系,则C(0,0,0),D(-2,0,0),A1(0,0,2),B(0,3,0),E(-2,2,0)
∴,
设平面A1BE法向量为
则∴∴
∴
又∵M(-1,0,),∴=(-1,0,)
∴
∴CM与平面A1BE所成角的大小45°
(3)【解析】
设线段BC上存在点P,设P点坐标为(0,a,0),则a∈[0,3]
∴,
设平面A1DP法向量为
则∴
∴
假设平面A1DP与平面A1BE垂直,则,
∴3a+12+3a=0,6a=-12,a=-2
∵0≤a≤3
∴不存在线段BC上存在点P,使平面A1DP与平面A1BE垂直