Question

一个多面体的直观图、正视图、侧视图、俯视图如图所示，M、N分别为A₁B、B₁C₁的中点.

(1)求证：MN//平面ACC₁A₁；

(2)求证：MN^平面A₁BC.

Answer

(1)见解析；(2)见解析

【解析】

试题分析：先由三视图还原几何体的直观图中线段长度，（1）利用直线与平面平行的判定定理，在平面内找一直线AC1，由三角形中位线证明MN//AC1，用直线与平面平行的判定定理得到结论；（2）通过证明平面内两相交直线同时垂直MN，由直线与平面垂直的判定定理得证.

试题解析：证明：由意可得：这个几何体是直三棱柱，

且AC^BC，AC=BC=CC1 -----2分

（1）由直三棱柱的性质可得：AA1^A1B1

四边形ABCD为矩形，则M为AB1的中点，N为B1C1

的中点，在DAB1C中，由中位线性质可得：

MN//AC1，又AC1Ì平面ACC1A1，MNË平面ACC1A1

\ MN//平面ACC1A1           6分

（2）因为：CC1^平面ABC，BCÌ平面ABC，\ CC1^ BC，

又BC^AC，ACÇCC1=C，所以，BC^平面ACC1A1，AC1Ì平面ACC1A1

\ BC^AC1，在正方形ACC1A1中，AC1^A1C，BCÇA1C=C，\ AC1^平面A1BC，

又AC1//MN，\MN^平面A1BC             10分

考点：1.三视图；2.直线与平面的平行、垂直的判定